Меню

Магазин задач » Задачи по теории вероятностей » Геометрическая вероятность

инструкции по поиску решенных задач по теории вероятностей

Геометрическое определение вероятности. Решения задач

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.




  Искать только в данном разделе

Геометрическая вероятность: список решений задач

Ниже даны ссылки на страницы с текстами задач на тему "Геометрическая вероятность". Все задачи имеют полное и качественное решение.

1 2 3 4 5 6 ... 8 

Геометрическая вероятность: теория и задачи

Не всегда бывает удобно для непосредственного подсчета вероятности использовать классическое определение вероятности (например, когда число исходов некоторого опыта бесконечно, как при выборе точки из отрезка и т.п.). Зачастую при этом используется другой метод - геометрический подход к определению вероятности.

Предположим, что случайное испытание можно представить как бросание произвольной точки наудачу в некоторую геометрическую область D (на прямой, плоскости или пространстве, в зависимости от задачи).
Элементарные исходы – это отдельные точки области D, любое событие – это некоторое подмножество этой области (фактически - пространства элементарных исходов). Можно считать, что все точки D "равноправны", и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество этой области пропорциональна мере (длине, площади, объему) подмножества и не зависит от его расположения внутри области и формы. Таким образом приходим к геометрическому определению вероятности.

Геометрическая вероятность некоторого события А определяется формулой:
P(A)={m(A)}/{m(D)}
Здесь m(D), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и множества исходов, благоприятствующих осуществлению события А.

Пример. Мишень для выстрелов в тире представляет собой круг радиуса R. Стрелок выбивает 10 очков, если попадает в малый круг в центре с радиусом r, r < R. Какова вероятность выбить 10 очков при одном выстреле?

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Множество всех элементарных исходов - мишень, круг радиуса R, его площадь равна S_1=pi R^2. Множество элементарных исходов, соответствующих событию "Выбито 10 очков" - это круг радиуса rего площадь равна S_2=pi r^2.

По геометрическому определению вероятности получаем, что искомая вероятность есть отношение площади малого круга, куда пуля должна попасть, к площади всей мишени - большого круга, то есть:
P(A)={pi r^2}/{pi R^2}={r^2}/{R^2}.

Пример. На плоскость, расчерченную параллельными полосками шириной в 2d (расстояние между осевыми линиями равно 2D), наудачу брошен круг радиуса r (r+d < D). Найти вероятность того, что данный круг пересечет некоторую полоску (линию).

Решение. Положим, что элементарный исход испытания - это расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полоски. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок G={x: 0<=x<=D}. Пересечение круга с полоской произойдет только в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. 0<=x<=d, или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. d<=x<=d+r.

По геометрическому определению вероятности получаем ответ: P(A)={d+r}/D.

Другие примеры задач по теории вероятности вы найдете на странице Примеры по теории вероятностей.