Меню

Магазин задач » Задачи по теории вероятностей » События. Теоремы сложения и умножения

faq - вопросы и ответы по решенным задачам по теории вероятностей

События: сложение и умножение вероятностей, условная вероятность. Решения задач

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.




  Искать только в данном разделе

События. Теоремы сложения и умножения: список решений задач

Ниже даны ссылки на страницы с текстами задач на тему "События. Теоремы сложения и умножения". Все задачи имеют полное и качественное решение.

1 ... 14 15 16 17 18 ... 32 

События. Теоремы сложения и умножения: теория и задачи

В некоторых задачах теории вероятности искомые события можно выразить через другие, более простые (сложное событие через элементарные), используя сумму и произведение событий (см. ниже определение). Тогда для вычисления вероятности такого сложного события используют соответствующие теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теперь приведем теоремы умножения и сложения вероятностей, которые описывают правила вычисления вероятностей сложных событий.

Теорема о сложении вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий P(A+B)=P(A)+P(B).

Эта формула действует для любого числа попарно несовместных событий:
P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)

Также из этой формулы можно получить простое следствие о вероятности противоположного события: P(overline{A})=1-P(A), так как P(overline{A}+A)=P(Omega)=1.

Теорема о сложении вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей независимых событий. Вероятность произведения независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: P(A*B)=P(A)*P(B).

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности: P(AB)=P(A)*P_{A}(B). Здесь P_{A}(B) - условная вероятность события В, при условии, что событие А произошло.

Формула для вычисления условной вероятности: P_{A}(B)={P(AB)}/{P(A)}.

Наступление хотя бы одного события. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий A_1, A_2, ..., A_n равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий P=P(A_1+A_2+...+A_n)=1-P(overline{A_1})*P(overline{A_2})*...*P(overline{A_n}). Если указанные события имеют одинаковую вероятность p, то формула принимает вид: P=1-(1-p)^n.

Пример. Два стрелка стреляют в цель по одному разу каждый. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность, что будет: а) два попадания; б) хотя бы одно попадание; в) ровно одно попадание.

Решение. Введем независимые события
А – попадание первого стрелка, P(A)=0,8;
В – попадание второго стрелка, P(B)=0,9.

Противоположные события: overline{A}, P(overline{A})=0,2 - промах первого стрелка, overline{B}, P(overline{B})=0,1 - промах второго стрелка.

Найдем нужные вероятности.

а) Ровно два попадания. Это событие АВ, по теореме умножения вероятностей получаем: P(AB)=P(A)*P(B)=0,8*0,9=0,72.

б) Хотя бы одно попадание. Это событие А+В, его вероятность: P(A+B)=1-P(overline{A})*P(overline{B})=1-0,2*0,1=0,98.

в) Ровно одно попадание, событие A*overline{B} +B*overline{A}, его вероятность: P(A*overline{B} +B*overline{A})=P(A)*P(overline{B}) +P(B)*P(overline{A})=0,8*0,1+0,2*0,9=0,26.

Пример. В первом ящике находится 2 белых и 5 черных шаров, во втором ящике - 3 белых и 2 черных шара. Из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что оба вынутых шара - черные.

Решение. Введем независимые события: А – вынули черный шар из первого ящика, B - вынули черный шар из второго ящика. Найдем вероятности событий по классическому определению вероятности (отношение числа черных шаров в ящике к общему числу шаров в этом ящике). Получаем: P(A)={5}/{2+5}=5/7, P(B)={2}/{3+2}=2/5.

Тогда по теореме умножения вероятностей искомая вероятность есть:
P(AB)=P(A)*P(B)={5/7}*{2/5}=2/7=0,286.

Другие примеры задач по теории вероятности вы найдете на странице Примеры по теории вероятностей.