Меню

Магазин задач » Задачи по теории вероятностей » Нормальное распределение

наша группа ВКонтакте. Получи бесплатно решение задачи по теории вероятностей

Нормальное распределение (распределение Гаусса). Функция Лапласа. Решения задач

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.




  Искать только в данном разделе

Нормальное распределение: список решений задач

Ниже даны ссылки на страницы с текстами задач на тему "Нормальное распределение". Все задачи имеют полное и качественное решение.

1 ... 4 5 6 7 8 ... 11 

Нормальное распределение: теория и задачи

Нормальное распределение (распределение Гаусса, закон Гаусса) задается функцией плотности вероятности следующего вида: f(x) ={{1}/{sigma sqrt{2 pi}}}*e^{-{(x-mu)^2}/{2sigma^2} }, где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины, σ2 — дисперсия.

Стандартное (или нормированное) нормальное распределение получается при с математическом ожидании, равном 0 и стандартном отклонении, равным 1.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Максимум данной функции достигается в точке μ (математическое ожидание), график симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Вообще нормальное распределение зависит от двух параметров (см. выше формулу) — смещения (это математическое ожидакние) и масштаба (это среднее квадратическое отклонение), то есть является с математической точки зрения семейством распределений. В зависимости от значений этих параметров график нормальной кривой будет более плоским или, наоборот, высоковершинным, вершина будет смещена влево или, наоборот, вправо.

При практическом решении задач о нормально распределенных случайных величинах важно иметь формулы для вычисления вероятности попадания величины в некоторый интервал. Приведем их. Пусть X распределена по нормальному закону с параметрами μ и σ, тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна P(alpha<X<eta) = Phi ({{eta-mu}/{sigma}})- Phi ({{alpha-mu}/{sigma}}). Здесь Phi (x)=1/{sqrt{2pi}} int{0}{x}{e^{-{t^2}/2} dt} - функция Лапласа, уже известная из раздела о формулах Лапласа.

В случае, когда данный интервал (α, β) симметричен относительно математического ожидания, то есть может быть представлен как (α, β)=(μ-δ, μ+δ), формула принимает следующий вид: P(delim{|}{X-mu}{|}<delta) =2 Phi ({{delta}/{sigma}}).

Используя предыдущую формулу и таблицу значений функции Лапласа, можно вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит 3 средних квадратических отклонений: P(delim{|}{X-mu}{|}<3sigma) =2 Phi (3)=0,9973=99,73% (событие практически достоверное). Этот факт обычно формулируют в следующем виде:
Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Пример. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ=10 и средним квадратическим отклонением σ=5. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (5, 25).

Решение. По условию имеем: mu=10, sigma=5, alpha=5, eta=25. Подставляем в формулу:
P(5<X<25) = Phi ({{25-10}/5})- Phi ({{5-10}/{5}})=Phi (3)- Phi (-1)=
=Phi (3)+Phi (1)=0,49865+0,3413=0,83995.

Другие примеры задач по теории вероятности вы найдете на странице Примеры по теории вероятностей.