Меню

Магазин задач » Задачи по математической статистике » Доверительные интервалы

инструкции по поиску решенных задач по теории вероятностей

Доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, вероятности. Решения задач

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.




  Искать только в данном разделе

Доверительные интервалы: список решений задач

Ниже даны ссылки на страницы с текстами задач на тему "Доверительные интервалы". Все задачи имеют полное и качественное решение.

1 2 

Доверительные интервалы: теория и задачи

Общие сведения о доверительных интервалах

Введем кратко понятие доверительного интервала, который
1) оценивает некоторый параметр числовой выборки непосредственно по данным самой выборки,
2) накрывает значение этого параметра с вероятностью γ.

Доверительным интервалом для параметра X (при вероятности γ) называется интервал вида eta_1 <= X <= beta_2, такой что P(eta_1 <= X <= beta_2)= gamma, а значения eta_1, beta_2 вычисляются некоторым образом по выборке x_1, x_2, ..., x_n.

Обычно в прикладных задачах доверительную вероятность берут равной γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Рассмотрим некоторую выборку x_1, x_2, ..., x_n объема n, сделанную из генеральной совокупности, распределенной предположительно по нормальному закону распределения N(a;sigma). Покажем, по каким формулам находятся доверительные интервалы для параметров распределения - математического ожидания и дисперсии (среднего квадратического отклонения).

Доверительный интервал для математического ожидания

Случай 1. Дисперсия распределения известна и равна sigma^2. Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
overline{x} - {t sigma}/{sqrt{n}}<= a<= overline{x} + {t sigma}/{sqrt{n}}, где overline{x} - выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению Phi(t)=gamma/2

Случай 2. Дисперсия распределения неизвестна, по выборке вычислена точечная оценка дисперсии s^2. Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
overline{x} - {t s}/{sqrt{n}}<= a<= overline{x} + {t s}/{sqrt{n}}, где overline{x} - выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Стьюдента t=t(gamma; n-1).

Пример. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.

Решение. Найдем t_{gamma}=t(0,99; 7-1)=3,71. Тогда доверительные границы для интервала, заключающего истинное значение измеряемой величины можно найти по формуле:
overline{x} - {t s}/{sqrt{n}}<= a<= overline{x} + {t s}/{sqrt{n}}, где overline{x} = 30 - выборочное среднее, s^2 = 36 - выборочная дисперсия. Подставляем все величины и получаем:
30 - {3,71*6}/{sqrt{7}}<= a<= 30 + {3,71*6}/{sqrt{7}},
21,587<= a<= 38,413.

Доверительный интервал для дисперсии

Считаем, что вообще говоря, математическое ожидание неизвестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсии s^2. Тогда доверительный интервал имеет вид:
{n s^2}/{{chi^2}_{1,n}}<= D<= {n s^2}/{{chi^2}_{2,n}}, где {chi^2}_{1,n}={chi^2}((1+gamma)/2, n), {chi^2}_{2,n} = {chi^2}((1-gamma)/2, n) - квантили распределения {chi^2}, определяемые из таблиц.

Пример. По данным 7 испытаний найдено значение оценки для среднеквадратического отклонения s=12. Найти с вероятностью 0,9 ширину доверительного интервала, построенного для оценки дисперсии.

Решение. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии генеральной совокупности можно найти по формуле:
{n s^2}/{{chi^2}_{1,n}}<= D<= {n s^2}/{{chi^2}_{2,n}}
Подставляем {chi^2}_{1,n}={chi^2}(0,95, 7)=14,057, {chi^2}_{2,n} = {chi^2}(0,05, 7)=2,165 и получаем:
{7*144}/{14,057}<= D<= {7*144}/{2,165}
71,708<= D<= 465,589.
Тогда ширина доверительного интервала равна 465,589-71,708=393,881.

Доверительный интервал для вероятности (доли)

Случай 1. Пусть в задаче известен объем выборки n и выборочная доля (относительная частота) w=m/n. Тогда доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) имеет вид:
w-t sqrt{{w(1-w)}/n}<= p<= w+t sqrt{{w(1-w)}/n}, где параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению Phi(t)=gamma/2.

Случай 2. Если в задаче дополнительно известен общий объем совокупности N, из которой была сделана выборка, доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) можно найти по скорректированной формуле:
w-t sqrt{{{w(1-w)}/n} (1-n/N)}<= p<= w+t sqrt{{{w(1-w)}/n} (1-n/N)}.

Пример. Известно, что n=100, N=1500, w=0,13. Найти границы, в которых с вероятностью gamma=0,95 заключена генеральная доля.

Решение. Используем формулу:
w-t sqrt{{{w(1-w)}/n} (1-n/N)}<= p<= w+t sqrt{{{w(1-w)}/n} (1-n/N)}.
Найдем параметр t из условия Phi(t)=gamma/2=0,475, получим t=1,96. Подставляем в формулу:
0,13-1,96 sqrt{{{0,13(1-0,13)}/100} (1-100/1500)}<= p<= 0,13+1,96 sqrt{{{0,13(1-0,13)}/100} (1-100/1500)},
0,066 <= p<= 0,194.

Другие примеры задач по математической статистике вы найдете на странице Примеры по математической статистике.